Приведенный модуль упругости формула

Показатель несжимаемости / устойчивости к сжимаемости вещества.

Иллюстрация равномерного сжатия

Объемный модуль упругости

( или ) вещества является мерой того , насколько устойчивым к сжатию , что вещество. Он определяется как отношение бесконечно малого увеличения давления к результирующему
относительному
уменьшению объема . [1] Другие модули описывают реакцию материала ( деформацию ) на другие виды напряжения : модуль сдвига описывает реакцию на сдвиг, а модуль Юнга описывает реакцию на линейное напряжение. Для жидкости значение имеет только модуль объемной упругости. Для сложного анизотропного твердого тела, такого как K {\ displaystyle K} B {\ displaystyle B} дерево или бумага , эти три модуля не содержат достаточно информации, чтобы описать его поведение, и необходимо использовать полный обобщенный закон Гука .

Определение [ править ]

Объемный модуль упругости можно формально определить уравнением K > 0 {\ displaystyle K> 0}

K знак равно — V d п d V {\ displaystyle K = -V {\ frac {dP} {dV}}}

где — давление, — начальный объем вещества, а обозначает производную давления по объему. Учитывая единицу массы, п {\ displaystyle P} V {\ displaystyle V} d п / d V {\ displaystyle dP / dV}

K знак равно ρ d п d ρ {\ Displaystyle К = \ ро {\ гидроразрыва {дП} {д \ ро}}}

где ρ

— начальная плотность, а d
P
/ d
ρ
обозначает производную давления по плотности (т.е. скорость изменения давления в зависимости от объема). Обратный модуль объемного сжатия дает сжимаемость вещества .

Механические свойства

Только при работе на растяжение или сжатие модуль (Юнга) упругости помогает угадать поведение того или иного материала. А вот при изгибе, срезе, смятии и прочих нагрузках потребуется ввести дополнительные параметры:

Читать также: Вакуумный насос своими руками в домашних условиях

1. Жёсткостью называют произведение поперечного сечения профиля на модуль упругости. По этой величине можно судить о пластичности узла конструкции в целом, а не о материале отдельно. Единицей измерения являются килограммы силы.
2. Продольное относительное удлинение — это отношение абсолютного удлинения материала-образца к его общей длине. К примеру, на стержень, длина которого равна 200 миллиметров, приложили некоторую силу. В результате он стал короче на 5 миллиметров. В результате относительное удлинение будет равняться 0,05. Эта величина безразмерная. Для более удобного восприятия иногда её переводят в проценты.
3. Поперечное относительное удлинение рассчитывается точно так же, как и продольное относительное удлинение, но вместо длины берут диаметр стержня. Опытным путём было установлено, что для большего количества материала поперечное меньше продольного удлинения приблизительно в 4 раза.
4. Коэффициент Пуассона. Это отношения относительной продольной к относительной поперечной деформации. При помощи этой величины можно полностью описать под воздействием нагрузки изменения формы.
5. Модуль сдвига описывает упругие свойства под воздействием касательных свойств на образец. Иными словами, когда вектор силы направляется к поверхности тела под 90 градусов. Примером подобных нагрузок служит работа гвоздей на смятие, заклёпок на срез и пр. Этот параметр связан с вязкостью материала.
6. Модуль упругости объёмной характеризует изменение объёма образца для разностороннего равномерного приложения нагрузки. Эта величина является отношением давления объёмного к деформации сжатия объёмной. Как пример можно рассматривать опущенный в воду материал, на который воздействует давление жидкости по всей его площади.

Кроме всего вышесказанного стоит упомянуть, что у некоторых материалов в зависимости от направления нагрузки разные механические свойства. Подобные материалы называются анизотропными. Примерами подобного является ткани, некоторые виды камня, слоистые пластмассы, древесина и прочее.

У материалов изотропных механические свойства и деформация упругая в любом направлении одинаковы. К таким материалам относятся металлы: алюминий, медь, чугун, сталь и прочее, а также каучук, бетон, естественные камни, пластмассы неслоистые.

Термодинамическое соотношение [ править ]

Строго говоря, объемный модуль упругости является термодинамической величиной, и для того, чтобы указать объемный модуль, необходимо указать, как давление изменяется во время сжатия: постоянная температура (изотермическая ), постоянная энтропия ( изэнтропическая ) и другие варианты возможны. . Такие различия особенно актуальны для газов . K Т {\ displaystyle K_ {T}} K S {\ displaystyle K_ {S}}

Для идеального газа изэнтропический процесс имеет:

п V γ знак равно c о п s т . ⇒ п ∝ ( 1 V ) γ ∝ ρ γ , {\ Displaystyle PV ^ {\ gamma} = const. \, \ Rightarrow P \ propto \ left ({\ frac {1} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ propto \ rho ^ {\ gamma}, }

поэтому изоэнтропический модуль объемной упругости определяется как: K S {\ displaystyle K_ {S}}

K S знак равно γ п . {\ displaystyle K_ {S} = \ gamma P.}

Точно так же изотермический процесс идеального газа имеет:

п V знак равно c о п s т . ⇒ п ∝ 1 V ∝ ρ , {\displaystyle PV=const.\,\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}

поэтому изотермический модуль объемной упругости определяется выражением K T {\displaystyle K_{T}}

K T = P {\displaystyle K_{T}=P}

где γ

представляет собой отношение теплоемкости и
р
является давлением.

Когда газ не идеален, эти уравнения дают только приближение модуля объемного сжатия. В жидкости объемный модуль K

и плотность
ρ
определяют скорость звука
c
( волны давления ) в соответствии с формулой Ньютона-Лапласа
c = K ρ . {\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}
В твердых телах и имеют очень похожие значения. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны : для этих материалов требуется один дополнительный модуль упругости , например модуль сдвига, для определения скорости волны. K S {\displaystyle K_{S}} K T {\displaystyle K_{T}}

Общее понятие

При любом внешнем воздействии на предмет, внутри его возникают встречные силы, компенсирующие внешние. Для идеальных систем, находящихся в равновесии, силы равномерно распределены и равны, что позволяет сохранить форму предмета. Реальные системы не подчиняются таким правилам, что может привести к их деформации. Оценивая прочность материалов, говорят об их упругости.

Определение модуля Юнга твердых тел
Упругие материалы – это те, которые после прекращения внешнего воздействия, восстанавливают свою первоначальную форму.

Внутренние силы распределены равномерно по всей площади поперечного сечения предмета, имеют свою интенсивность, которая выражается количественно, называется напряжением (р) и измеряется в Н/м2 или по международной системе Па.

Напряжение имеет свою пространственную направленность: перпендикулярно площади сечения предмета – нормальное напряжение (σz) и лежащая в плоскости сечения – касательное напряжение (τz).

Опыт с пружинными весами

Модуль упругости (Е) как единицу измерения отношения материала к линейной деформации, и нормальное напряжение связывает формула закона Гука:

ε = σz/E (1)

где ε – относительное удлинение или деформация.

Преобразовав формулу (1) для выражения из нее нормального напряжения, можно увидеть, что Е является постоянной при относительном удлинении, и называется коэффициентом жесткости, а его единицы измерения Па, кгс/мм2 или Н/м2:

σz = Eε (2)

Модуль упругости – это единица измерения отношения напряжения, создаваемого в материале, к линейной деформации, такой как, растяжение и сжатие.

В справочных материалах размерность модуля упругости выражается в МПа, так как деформация имеет довольно малое значение. А зависимость между этими величинами обратно пропорциональная. Таким образом, Е имеет высокое значение, определяемое 107-109.

Выбранные значения [ править ]

Приблизительный модуль объемной упругости (K) для обычных материалов

Влияние добавок выбранных стеклянных компонентов на модуль объемной упругости определенного базового стекла. [4]

Материал с объемным модулем упругости 35 ГПа теряет один процент своего объема при воздействии внешнего давления 0,35 ГПа (~3500 бар ).
Приблизительный модуль объемной упругости (K) для других веществ

Факторы, влияющие на значение расчетного модуля упругости

Более подробно сущность модуля упругости, предела пропорциональности, предела прочности, нормальных напряжений, деформаций и других понятий рассматривается отдельно. Здесь лишь отметим, что для материалов, у которых предел пропорциональности незначительно меньше предела текучести, можно использовать линейную деформационную модель. Т.е. предполагать деформации прямо пропорциональными нормальным напряжениям.

Читать также: Латунь ржавеет или нет

Примером таких материалов являются стали различных марок. А вот бетон к таким материалам не относится. Более того, у бетона нет ярко выраженного предела пропорциональности и предела текучести. Диаграмма напряжений бетона при постепенном загружении выглядит приблизительно так:

Рисунок 324.1

Однако это далеко не единственная из возможных диаграмм напряжений бетона, так как на значение деформаций ε будут влиять не только нормальные напряжения σ, возникающие в поперечных сечениях, но и множество других факторов:

Класс бетона

Начальный модуль упругости бетона зависит от класса бетона. Значение начального модуля упругости можно определить по следующей таблице:

Таблица 1. Начальные модули упругости бетона (согласно СП 52-101-2003)

Время приложения нагрузки

При кратковременном действии нагрузки деформации бетона почти прямо пропорциональны напряжениям, кроме того такие деформации остаются упругими. При расчетах на кратковременное действие нагрузки (до 1-2 часов) значение приведенного модуля упругости на участках без трещин определяется по формуле:

где φb1 = 0.85 – для тяжелых, мелкозернистых и легких бетонов на плотном мелком заполнителе; = 0.7 – для поризованных и легких бетонов на пористом мелком заполнителе.

При длительном действии нагрузки того же значения, деформации начинают увеличиваться до некоторого предела, например при σ = Rb – до точки 1 на диаграмме напряжений. После снятия нагрузки пластические деформации εпл останутся (потому они пластическими и называются), а при повторном загружении до указанного предела деформации будут прямо пропорциональны напряжениям. Процесс нарастания пластических деформаций с течением времени при постоянных нормальных напряжениях называется ползучестью бетона.

Так как при длительном действии нагрузки диаграмма напряжений стремится к показанной на рисунке 324.1, то при расчетах необходимо учитывать нелинейность изменения деформаций при линейно изменяющихся напряжениях. К тому же в изгибаемых элементах нелинейному изменению деформаций препятствует сам материал. Напомню, нормальные напряжения в поперечных сечениях изгибаемых элементов прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения, через который проходит нейтральная линия, до рассматриваемой точки. Таким образом различные слои бетона, работающие совместно, приводят к частичному перераспределению деформаций по высоте элемента, при этом перераспределенную эпюру деформаций можно условно рассматривать как линейную:

Рисунок 324.2

На рисунке 324.2 показана некоторая высота сжатой зоны сечения у, при которой нормальные напряжения σ будут прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести до рассматриваемой точки, это соответствует работе бетона в области условно упругих деформаций. При этом изменение деформаций можно рассматривать по зависимости, показанной на рисунке 324.2.а) или 324.2.б). Часто расчетами на прочность допускается наличие в сжатой области пластического шарнира, при котором изменяется эпюра напряжений и соответственно увеличивается значение деформаций:

Рисунок 324.3

На основании этого для упрощения расчетов обычно принимается двухлинейная (рис. 324.3. а) или трехлинейная (рис. 324.3.б) диаграмма состояния сжатого бетона. Согласно СП 52.101.2003 трехлинейная диаграмма выглядит так:

Читать также: Как обозначаются сварные швы на чертежах

Рисунок 324.4

Еb1 – при кратковременном действии нагрузки принимается равным Eb, а при длительном действии нагрузки определяется по следующей формуле:

где φb,cr – коэффициент ползучести бетона, определяемый в зависимости от класса бетона и влажности окружающей среды. Таким образом учитывается третий фактор, влияющий на модуль упругости бетона:

Влажность воздуха

Значение коэффициента ползучести определяется по следующей таблице:

Таблица 2. Коэффициенты ползучести бетона

а значения деформаций εbo и εb2 при необходимости (если нормальные напряжения больше 0.6Rb,n) определяются по таблице 3:

Таблица 3. Относительные деформации бетона (согласно СП 52-101.2003)

На значение модуля упругости бетона также влияют температура окружающей среды и интенсивность радиоактивного излучения.

Значение начальных модулей упругости, приведенных в таблице 1, соответствует температуре окружающей среды +20±5 о С и нормальному радиационному фону. При изменении температуры в пределах ±20 от указанного значения влияние температуры на модуль упругости можно не учитывать. А при больших изменениях температуры следует учитывать еще и температурные деформации бетона. В целом уменьшение температуры приводит к увеличению модуля упругости, но и к повышению хрупкости материала, а увеличение температуры – к уменьшению модуля упругости и к увеличению пластичности материала.

А теперь попробуем выяснить, как все эти теоретические цифры можно применить на практике.

Микроскопическое происхождение [ править ]

Межатомный потенциал и линейная эластичность [ править ]

Межатомный потенциал и сила

Поскольку линейная эластичность является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с растяжением / сжатием связей. Затем его можно вывести из межатомного потенциала кристаллических материалов. [5] Во-первых, давайте рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень далеких точек, они почувствуют влечение друг к другу. По мере приближения друг к другу их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их полная энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, при котором достигается минимальное энергетическое состояние. Это происходит на некотором расстоянии a 0 , где полная сила равна нулю:

F = − ∂ U ∂ r = 0 {\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}

Где U — межатомный потенциал, а r — межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Для того, чтобы расширить два атома подойти в твердое тело, рассмотрит модель простой, скажем, 1-D массив одного элемента с межатомным расстоянием A A, и равновесное расстояние 0 . Его потенциальная энергия-межатомное расстояние связь имеет аналогичную форму , как и случае два атома, который достигает минимально в виде

0 , разложение в ряд Тейлора для этого является:
u ( a ) = u ( a 0 ) + ( ∂ u ∂ r ) r = a 0 ( a − a 0 ) + 1 2 ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 ( a − a 0 ) 2 + O ( ( a − a 0 ) 3 ) {\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}
В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующий член — квадратичный. Когда смещение невелико, члены более высокого порядка следует опускать. Выражение становится:

u ( a ) = u ( a 0 ) + 1 2 ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 ( a − a 0 ) 2 {\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}} F ( a ) = − ∂ u ∂ r = ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 ( a − a 0 ) {\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}

Это явно линейная эластичность.

Обратите внимание, что вывод выполняется с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

K = a 0 ∗ d F d r = a 0 ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 {\displaystyle K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}

Эта форма может быть легко расширена до трехмерного случая с объемом на атом (Ω) вместо межатомного расстояния.

K = Ω 0 ( ∂ 2 ∂ Ω 2 u ) Ω = Ω 0 {\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}

Связь с атомным радиусом [ править ]

Как было установлено выше, объемный модуль напрямую связан с межатомным потенциалом и объемом, приходящимся на атом. Мы можем дополнительно оценить межатомный потенциал, чтобы связать K

с другими свойствами. Обычно межатомный потенциал может быть выражен как функция расстояния, которая имеет два члена: один член для притяжения, а другой — для отталкивания.
u = − A r − n + B r − m {\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}
Где A

> 0 представляет член притяжения, а
B
> 0 представляет отталкивание. n и m обычно являются целыми, а
m
обычно больше
n
, что отражает характер отталкивания на короткие расстояния. В положении равновесия
u
минимально, поэтому производная первого порядка равна 0.
( ∂ u ∂ r ) r 0 = A n r − n − 1 + − B m r − m − 1 = 0 {\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0} B A = n m r 0 m − n {\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}} u = − A r − n ( 1 − B A r n − m ) = − A r − n ( 1 − n m r 0 m − n r n − m ) {\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)}
когда r

близко к, вспомните, что
n
(обычно от 1 до 6) меньше
m
(обычно от 9 до 12), игнорируйте второй член, оцените вторую производную
( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 = − A n ( n + 1 ) r 0 − n − 2 {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}}
Напомним связь между r и Ω

Ω = 4 π 3 r 3 {\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}} ( ∂ 2 ∂ Ω 2 u ) = ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) ( ∂ r ∂ Ω ) 2 = ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) Ω − 4 3 {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}} K = Ω 0 ( ∂ 2 u ∂ r 2 ) Ω = Ω 0 ∝ r 0 − n − 3 {\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}}

Во многих случаях, например, в металлических или ионных материалах, сила притяжения является электростатической, поэтому n

= 1, мы имеем
K ∝ r 0 − 4 {\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}
Это относится к атомам со схожей природой связи. Эта взаимосвязь подтверждается для щелочных металлов и многих ионных соединений. [6]

Ссылки [ править ]

1. «Объемные упругие свойства» . гиперфизика
   . Государственный университет Джорджии.
2. «Силиконовая резина» . Материалы AZO
   .
3. Страница 52 из « Введение в физику твердого тела , 8-е издание» Чарльза Киттеля, 2005, ISBN 0-471-41526-X
4. Флюгель, Александр. «Расчет объемного модуля стекол» . glassproperties.com
   .
5. Х., Кортни, Томас (2013). Механическое поведение материалов
   (2-е изд. Reimp ed.). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512. OCLC 929663641 .
6. Перейти
   ↑ Gilman, JJ (1969).
   Микромеханика течения в твердых телах
   . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 29.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Де Йонг, Мартен; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений» . Научные данные
  .
  2
  : 150009. Bibcode : 2013NatSD … 2E0009D . DOI : 10.1038 / sdata.2015.9 . PMC 4432655 . PMID 25984348 .

Способы расчета модуля упругости

Известны также и другие характеристики упругости, которые описывают сопротивление материалов к воздействиям как к линейным, так и отличным от них.

Величина, которая характеризует сопротивление материала к растяжению, то есть увеличению его длины вдоль оси, или к сжатию – сокращению линейного размера, называется модулем продольной упругости.

Обозначается как Е и выражается в Па или ГПа.

Показывает зависимость относительного удлинения от нормальной составляющей cилы (F) к ее площади распространения (S) и упругости (Е):

σz = F/ES (3)

Параметр также называют модулем Юнга или модулем упругости первого рода, в таблице показаны величины для материалов различной природы.

Модулем упругости второго рода называют модуль сдвига (G), который показывает сопротивление материала к сдвигающей силе (FG). Может быть выражена двумя способами.

• Через касательные напряжения (τz) и угол сдвига (γ):

G = τz/γ (4)

• Через соотношение модуля упругости первого рода и коэффициента Пуасонна (ν):

G = E/2(1+υ) (5)

Определенное в результате экспериментов значение сопротивления материала изгибу, называется модулем упругости при изгибе, и вычисляется следующим образом:

EИ = ((0,05-0,1)Fр— 0,2Fр)L2 / 4bh3(ƒ2-ƒ1) (6)

где Fр – разрушающая сила, Н;

L – расстояние между опорами, мм;

b, h – ширина и толщина образца, мм;

ƒ1, ƒ2– прогибы, образованные в результате нагрузки F1 и F2.

При равномерном давлении по всему объему на объект, возникает его сопротивление, называемое объемным модулем упругости или модулем сжатия (К). Выразить этот параметр можно, практически через все известные модули и коэффициент Пуассона.

Определение модуля упругости щебеночного основания

Параметры Ламе также используют для описания оценки прочности материала. Их два μ – модуль сдвига и λ. Они помогают учитывать все изменения внутри материала в трехмерном пространстве, тогда соотношения между нормальным напряжением и деформацией будет выглядеть следующим образом:

σ = 2με + λtrace(ε)I (7)

Оба параметра могут быть выражены из следующих соотношений:

λ = νE / (1+ν)(1-2ν) (8)

μ = E / 2(1+ν) (9)