Моделирование линейных упругих материалов — насколько это сложно?

Отношение напряжения сдвига к деформации сдвига

Деформация сдвига
В науке материалов , модуль сдвига

или
модулем жесткости
, обозначаемой
G
, или иногда
S
или
М
, является мерой упругого сдвига жесткости материала и определяется как отношение напряжения сдвига к сдвиговой деформации : [1]
грамм знак равно d е ж τ Икс y γ Икс y знак равно F / А Δ Икс / л знак равно F л А Δ Икс {\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}
куда

τ x y = F / A {\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,} = напряжение сдвига F {\displaystyle F} это сила, которая действует A {\displaystyle A} это область, на которую действует сила γ x y {\displaystyle \gamma _{xy}} = деформация сдвига. В машиностроении , в другом := Δ x / l = tan ⁡ θ {\displaystyle :=\Delta x/l=\tan \theta } := θ {\displaystyle :=\theta } Δ x {\displaystyle \Delta x} поперечное смещение l {\displaystyle l} начальная длина

Производной единицей модуля сдвига в системе является паскаль (Па), хотя обычно он выражается в гигапаскалях (ГПа) или тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi). Ее мерная форма есть М 1 л -1 Т -2 , заменив силы

на
массовые
времена
ускорения
.

Объяснение [ править ]

Модуль сдвига — это одна из нескольких величин для измерения жесткости материалов. Все они возникают в обобщенном законе Гука :

• Модуль Юнга E
  описывает реакцию деформации материала на одноосное напряжение в направлении этого напряжения (например, натягивание концов проволоки или размещение груза на вершине колонны, при этом проволока становится длиннее, а колонна теряет высоту).
• в коэффициент Пуассона ν
  описывает отклик в направлениях , ортогональных к этому одноосного напряжения (проволоки становится тоньше и толще колонны),
• объемный модуль упругости К
  описывает реакцию материала к (однородной) гидростатического давления (например , давление на дне океана или глубокий бассейн),
• модуль сдвигаG
  описывает отклик материала к напряжению сдвига (как резок его с тупыми ножницами). Эти модули не являются независимыми, и для изотропных материалов они связаны уравнениями . [9] 2 G ( 1 + ν ) = E = 3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle 2G(1+\nu )=E=3K(1-2\nu )}

Модуль сдвига связан с деформацией твердого тела, когда оно испытывает силу, параллельную одной из его поверхностей, в то время как его противоположная сторона испытывает противодействующую силу (например, трение). Если объект имеет форму прямоугольной призмы, он деформируется в параллелепипед . Анизотропные материалы, такие как дерево , бумага, а также практически все монокристаллы, демонстрируют различную реакцию материала на напряжение или деформацию при испытании в разных направлениях. В этом случае может потребоваться использовать полное тензорное выражение упругих констант, а не одно скалярное значение.

Одно из возможных определений жидкости — это материал с нулевым модулем сдвига.

Таблица значений модуля сдвига

Это таблица образцов модуля сдвига значения при комнатной температуре. Мягкие, гибкие материалы, как правило, имеют низкие значения модуля сдвига. Щелочноземельные и основные металлы имеют промежуточные значения. Переходные металлы и сплавы имеют высокие значения. Алмаз, твердое и жесткое вещество, имеет чрезвычайно высокий модуль сдвига.

Обратите внимание, что значения для Янга модуль следуют аналогичной тенденции. Модуль Юнга — это мера жесткости твердого тела или линейного сопротивления деформации. Модуль сдвига, модуль Юнга и объемный модуль — это модули упругости, все они основаны на законе Гука и связаны друг с другом уравнениями.

Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 21

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности:

лабораторная установка ФМ-19, микрометр, штангенциркуль.

Цель работы:

определение модуля сдвига материала пружины.

Краткая теория

Сдвигом

называется такая деформация твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 21.1
а
). Сдвиг происходит под действием касательной силы , приложенной к грани BC, параллельной плоскости сдвига. Грань AD, параллельная BC, закреплена неподвижно. На рис. 21.1
б
показано в объеме тоже самое твердое тело, подвергаемое деформации сдвига. При малом сдвиге . Величина
g
, выраженная в радианах, называется
углом сдвига
. При сдвиге объем деформируемого тела не меняется.

а б

Рис. 21.1

Напряжением

(механическим) называют векторную величину, равную отношению силы упругости, действующей на данной площадке внутри тела, к ее площади.

Модулями упругости

называются величины, характеризующие упругие свойства материалов. В зависимости от типа деформации различают:

1. Модуль продольной упругости

(
модуль Юнга
)
Е
– в случае деформации растяжения.

2. Модуль сдвига
G
– в случае деформации сдвига.

3. Модуль кручения
D
– в случае деформации кручения.

Для первых двух типов деформации (в случае малых деформаций) зависимость между упругим напряжением и соответствующей деформацией определяется простой формулой: напряжение равно произведению деформации на соответствующий модуль упругости

(
закон Гука
). Так,
закон Гука для деформации растяжения
(
сжатия
)
(рис. 21.2) имеет вид
(21.1)

где s

−
нормальное напряжение
, равное отношению растягивающей образец силы к площади его поперечного сечения ;
Е
− модуль Юнга;
e
−
относительное удлинение
, равное отношению
абсолютного удлинения
к первоначальной длине образца

Рис. 21.2

Закон Гука для деформации сдвига

записывается в виде

(21.2)

где t

–
касательное напряжение
, равное отношению
касательной
силы , вызывающей сдвиг, к площади
S
верхней грани, к которой приложена (рис. 21.1
б
), ;
G
– модуль сдвига;
g
− угол сдвига.

Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е

характеризует способность материалов сопротивляться деформации растяжения. Модуль сдвига
G
характеризует способность материалов сопротивляться деформации сдвига. Отличие модуля кручения
D
от модулей Юнга и сдвига состоит в том, что он зависит не только от свойств материала, но и от геометрических размеров тела.

В данной работе определяется модуль сдвига материала, из которого изготовлена винтовая пружина (рис. 21.3). Основными геометрическими параметрами пружины являются: диаметр проволоки d

, диаметр пружины
D
и число витков
N
. Под действием растягивающей силы
F
длина пружины
L
увеличивается согласно
закону Гука
на величину

(21.3)

где DL
−
абсолютное удлинение пружины;
k
– жесткость пружины. Направление действия силы при этом перпендикулярно виткам, поэтому удлинение пружины при одной и той же силе определяется модулем сдвига и дается соотношением

(21.4)

Рис. 21.3

Для определения модуля сдвига в работе используется пружинный маятник (рис. 21.4). Под действием сил тяжести и упругости пружины выведенный из положения равновесия груз массой m

совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом Из последней формулы получаем жесткость пружины:

(21.5)

Таким образом, измерив период колебаний и воспользовавшись формулами (21.4), (21.3), (21.5), можно найти модуль сдвига:

(21.6)

Описание лабораторной установки

Для определения модуля сдвига с помощью пружинного маятника предназначена экспериментальная установка ФМ-19 (рис. 21.4). Установка позволяет также определять модуль Юнга методом изгиба (лабораторная работа № 20). Установка состоит из основания 1, на котором закреплена вертикальная стойка 2. На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны.

На среднем кронштейне 4 вертикально подвешивается пружина 6. К пружине подвешивается наборный груз 7.

На нижнем кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 8, который подключается к блоку электронному 9.

На верхнем кронштейне 5 закреплены часовой индикатор 10 и две призматические опоры 11 для установки исследуемого образца 12 (пластины), которые в данной работе не используются.

На передней панели блока электронного 9 расположены:

счетчик колебаний 13 – световое табло, на котором высвечивается число полных колебаний;

секундомер 14 – световое табло, на котором высвечивается время колебаний; запуск и остановка секундомера осуществляется фотоэлектрическим датчиком 8;

кнопка «ПУСК» 15 − при нажатии на кнопку начинается отсчет времени от момента прохождения маятником положения равновесия;

кнопка «СТОП» 16 − при нажатии кнопки секундомер фиксирует длительность t

целого числа колебаний на момент ближайшего во времени прохождения маятником положения равновесия.

На задней панели блока электронного 9 расположен выключатель »01» (»Сеть») – при включении выключателя на блок электронный подается питание, на табло счетчика колебаний и на табло секундомера высвечиваются «минусы». Далее после нажатия кнопки «ПУСК» и пересечения наборным грузом 7 луча фотоэлектрического датчика, включаются счетчик колебаний и секундомер.

Рис. 21.4

Порядок выполнения работы

1. Подвесьте на кронштейне 4 пружину 6.

2. Подвесьте к пружине 6 наборный груз 7. Масса m

наборного груза 7 во всех измерениях должна быть не менее 100 г (для того, чтобы получить необходимую для измерений амплитуду колебаний). Запишите массу груза в табл. 21.1.

3. Кронштейн 4 с вертикально подвешенной пружиной 6 и наборным грузом 7, подвешенным к пружине, закрепите на вертикальной стойке 2 таким образом, чтобы нижний край наборного груза 7, совпадал с рисками на фотодатчике 8.

4. Поднимите груз 7 немного вверх и отпустите. При этом груз начинает совершать колебания на пружине. Измерьте время t

десяти (
n=
10) полных колебаний маятника. Для этого нажмите кнопку «ПУСК» и когда счетчик колебаний 13 покажет значение «10», сразу же нажмите кнопку «СТОП». Показания
t
секундомера 14 занесите в табл. 21.1.

5. Повторите опыт (по п. 4) 5 раз. Показания n

счетчика колебаний 13 всегда должны быть равны десяти. Результаты измерений занесите в табл. 21.1.

6. Повторите пп. 2-5 для трех значений массы m

груза 7. Результаты измерений занесите в табл. 21.1.

7. При помощи штангенциркуля (или микрометра) измерьте 5 раз диаметр D

пружины (в разных местах пружины), при этом пружину нужно сжимать рукой вдоль ее продольной оси симметрии. Результаты измерений занесите в табл. 21.1.

8. При помощи микрометра измерьте 5 раз диаметр d

проволоки, из которой изготовлена пружина (в разных местах пружины). Результаты измерений занесите в табл. 21.1.

9. Подсчитайте число N

витков пружины и занесите это значение в табл. 21.1. Подойдите к преподавателю на проверку.

10. По любому из замеров табл. 21.1 сделайте оценочный расчет модуля сдвига G

по формуле (21.6), вычислив период колебаний по формуле Подойдите к преподавателю на проверку.

Таблица 21.1

11. При оформлении отчета для каждой массы m

груза найдите среднее время десяти колебаний и средний период колебаний Результаты вычислений занесите в табл. 21.1.

12. Найдите средние значения диаметра пружины и диаметра проволоки, из которой изготовлена пружина. Результаты вычислений занесите в табл. 21.1.

13. Для каждого значения m

вычислите средний модуль сдвига по формуле (21.6), используя найденные выше средние значения Найдите среднее значение
G
.

14. Для одного из значений массы m

груза вычислите относительную погрешность определения модуля сдвига:

где DD

, D
d
– находятся как погрешности прямых измерений (по методу Стьюдента); где D
t
находится по методу Стьюдента (при расчете можно использовать равенство );

Контрольные вопросы

1. Что называется сдвигом?

2. Что называется напряжением? Напишите формулу для модуля нормального напряжения. Напишите формулу для модуля касательного напряжения.

3. Перечислите модули упругости.

4. Что характеризует модуль сдвига материала?

5. Напишите закон Гука для деформации растяжения (сжатия).

6. Напишите закон Гука для деформации сдвига.

7. Напишите закон Гука для абсолютного удлинения при деформации растяжения (сжатия).

8. Почему по удлинению пружины можно найти модуль сдвига?

9. Что такое пружинный маятник?

10. Запишите формулы для циклической частоты и периода колебаний пружинного маятника.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курс физики. М.: Высш. школа, 2007, § 21, с. 42-45; § 142, с. 256-257.

2. А

., Курс физики. М.: Высш. школа, 2000, § 29.1, п. 3, с. 386; § 29.3, п. 2, с. 391; § 27.2, п. 3, пример 1, с. 361.

3. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / ; под общ. ред. . – М.: КНОРУС, 2009. § 2.9, с. 73-77; § 8.1, с. 258-259.

4. Общая физика: руководство по лабораторному практикуму: Учеб. пособие / Под ред. и . – М.: ИНФРА-М, 2010. Задача № 19, с.153-155.

Составил преп.

15.07.2013

Волны[править | править код]

В однородных изотропных средах существует два типа упругих волн: продольные волны и поперечные волны. Скорости продольной ( c p ) {\displaystyle (c_{p})} и поперечной ( c s ) {\displaystyle (c_{s})} волн зависят от модуля сдвига:

c p = 2 G ( 1 − ν ) ρ ( 1 − 2 ν ) , c s = G ρ {\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {2G(1-\nu )}{\rho (1-2\nu )}}},\qquad \qquad c_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}

где
G
— модуль сдвига ν {\displaystyle \nu } — коэффициент Пуассона ρ {\displaystyle \rho } — плотность материала.

Модуль Юнга (упругости)

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации.

Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой.

Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р.

Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Модуль Юнга