Как сделать конус из бумаги: 5 самых лучших примеров с пошаговыми инструкциями

Определение и элементы конуса

Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.

При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.

Обратите внимание!

Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.

Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:

1. Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:

Важно!

Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.

2. Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:

3. Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.

Тела и поверхности вращения. Шар. Цилиндр. Конус

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Мария 07 февраля 2022 Очень понятно, доступно

Александр (админ) 07 февраля 2022 Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями!

Евгений 05 марта 2022 Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная.

Александр (админ) 05 марта 2022 Спасибо, Евгений! Заходи… )

Левон 09 мая 2022 Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе!

Александр (админ) 09 мая 2022 Спасибо большое, Левон!

Дилдора 18 мая 2022 Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться.

Александр (админ) 18 мая 2022 Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать.

Таня 18 июня 2022 Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам.

Максим 23 мая 2022 Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема(

Александр (админ) 23 мая 2022 Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо!

Геннадий 31 июля 2022 А если образующая колонны — дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны?

Алексей Шевчук 01 августа 2022 Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса).

Геннадий 09 августа 2022 Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны — 256 модулей, верхний радиус — 14 модулей, а нижний — 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями — 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса.

Алексей Шевчук 13 августа 2022 Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) — в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha.

Геннадий 22 августа 2022 Здравствуйте, Алексей! Спасибо за ответ. Колонна, скажем так, выпуклая. Ее нижний радиус — наибольший, а верхний — наименьший. Локальных перепадов типа «+» — «-» — «+» нет. Мой вопрос (к сожалению) был не очень корректно сформулирован. Интересует не столь площадь боковой поверхности, сколько название этой поверхности (нечто вроде «шарового пояса»). Например «пояс эллиптического тора»?…

Алексей Шевчук 25 августа 2022 Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур

Геннадий 28 августа 2022 Спасибо. Это был вопрос корректной формулировки. Интересно, что когда полуоси исходного эллипса 65 и 1040, то его «тело» разбивается на 36 простых (последовательных) дуг с целочисленными координатами.

KIZARU 24 октября 2022 Не лезьте в хип-хоп

Александр (админ) 24 октября 2022 Хорошо. Не будем.

Свойства кругового конуса

Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:

1. Образующие кругового конуса равны друг другу.
2. Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
3. Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.

Интересный факт!

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} left( Hcdot S_2 + h cdot s_1 right) ]

где: V – объем конуса h – расстояния от плоскости верхнего основания до вершины H – расстояния от плоскости нижнего основания до вершины S1 – площадь верхнего (ближнего к вершине) основания S2 – площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} pi h left( R^2 + R cdot r + r^2 right) ]

где: V – объем конуса h – высота конуса R – радиус нижнего основания r – радиус верхнего основания

Объём усечённого конуса

Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:

Объём данного тела можно вычислить по формуле:

Важно! S и S1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR2 и ПR12 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.

Выкройка для конуса

Главная > Геометрия > Выкройка для конуса

19.11.2012 // Владимир Трунов

Вместо слова «выкройка» иногда употребляют «развертка», однако этот термин неоднозначен: например, разверткой называют инструмент для увеличения диаметра отверстия, и в электронной технике существует понятие развертки. Поэтому, хоть я и обязан употребить слова «развертка конуса», чтобы поисковики и по ним находили эту статью, но пользоваться буду словом «выкройка».

Построение выкройки для конуса — дело нехитрое. Рассмотрим два случая: для полного конуса и для усеченного. На картинке (кликните, чтобы увеличить) показаны эскизы таких конусов и их выкроек. (Сразу замечу, что речь здесь пойдет только о прямых конусах с круглым основанием. Конусы с овальным основанием и наклонные конусы рассмотрим в следующих статьях).

Полный конус

Обозначения:

• — диаметр основания конуса;
• — высота конуса;
• — радиус дуги выкройки;
• — центральный угол выкройки.

Параметры выкройки рассчитываются по формулам: ; ; где .

Усеченный конус

Обозначения:

• — диаметр большего основания конуса;
• — диаметр меньшего основания конуса;
• — высота конуса;
• — радиус внешней дуги выкройки;
• — радиус внутренней дуги выкройки;
• — центральный угол выкройки.

Формулы для вычисления параметров выкройки: ; ; ; где . Заметим, что эти формулы подойдут и для полного конуса, если мы подставим в них .

Угол при вершине конуса

Иногда при построении конуса принципиальным является значение угла при его вершине (или при мнимой вершине, если конус усеченный). Самый простой пример — когда нужно, чтобы один конус плотно входил в другой. Обозначим этот угол буквой (см. картинку). В этом случае мы можем его использовать вместо одного из трех входных значений: , или . Почему «вместо«, а не «вместе«? Потому что для построения конуса достаточно трех параметров, а значение четвертого вычисляется через значения трех остальных. Почему именно трех, а не двух и не четырех — вопрос, выходящий за рамки этой статьи. Таинственный голос мне подсказывает, что это как-то связано с трехмерностью объекта «конус». (Сравните с двумя исходными параметрами двухмерного объекта «сегмент круга», по которым мы вычисляли все остальные его параметры в статье Геометрия круга.)

Ниже приведены формулы, по которым определяется четвертый параметр конуса, когда заданы три.

• Заданы ; тогда .
• Заданы ; тогда .
• Заданы ; тогда .
• Заданы ; тогда .

Методы построения выкройки

• Вычислить значения на калькуляторе и построить выкройку на бумаге (или сразу на металле) при помощи циркуля, линейки и транспортира.
• Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).
• использовать мою программу Cones, которая нарисует на экране и выведет на печать выкройку для конуса с заданными параметрами. Эту выкройку можно сохранить в виде векторного файла и импортировать в CorelDRAW.

Не параллельные основания

Что касается усеченных конусов, то программа Cones пока строит выкройки для конусов, имеющих только параллельные основания. Для тех, кто ищет способ построения выкройки усеченного конуса с не параллельными основаниями, привожу ссылку, предоставленную одним из посетителей сайта: Усеченный конус с не параллельными основаниями.

геометрические формулы

Похожие записи

• Геометрия круга

• Выкройка овального и наклонного конуса

Площадь усечённого конуса

Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:

• площади боковой поверхности усечённого конуса Sбок;
• полной площади усечённой фигуры Sпол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

Здесь l — длина образующей, а R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.

Определение объема фигуры

Читатели могли заметить, что форма конуса напоминает чем-то пирамиду, только его боковая поверхность является гладкой, а не ребристой, как у пирамиды. Эта аналогия имеет геометрическое обоснование, поскольку увеличение числа боковых граней пирамиды до бесконечности, переводит ее в конус. Этот факт позволяет записать для объема конуса точно такую же формулу, как для объема пирамиды. Имеем:

V = 1/3*h*So

Отметим, что не важно, какая замкнутая кривая образует основание конуса, также не важно, является фигура прямой или наклонной, формула будет справедлива во всех этих случаях.

Для конуса круглого выражение для V приобретает конкретный вид:

V = 1/3*pi*r2*h

Развертка конуса | AutoCAD

Выполним одно из простых, но часто используемых в черчении построений – построим развертку конуса (боковой поверхности). В Autocad есть средства, позволяющие быстро и точно решать подобные задачи. 1. Для начала вспомним школьный курс геометрии:

Развертка боковой поверхности прямого конуса – это сектор круга, радиус которого равен образующей конуса R, а длина дуги L=2αr, где r – радиус основания конуса. Угол α в градусах равен 360 * 2α r/2αR = 360r/R. 2. Пусть конус задан графически в виде треугольника (для твердотельного конуса построение также справедливо):

Построим его развертку. Вариантов такого построения очень много, мы же применим способ, который не требует сторонних расчетов и использует только инструменты Autocad. Сначала построим произвольную дугу с радиусом R. Для этого начертим окружность, используя образующую конуса в качестве радиуса:

Затем командой Обрезать (Trim) отсечем от нее любую часть, чтобы она превратилась в дугу. В качестве режущей кромки используем произвольную вспомогательную линию:

Затем линию удаляем, выделяем дугу и открываем окно свойств:

Если в окне свойств не хватает требуемых пунктов настроек, то нажимаем в окне параметров кнопку CUI (Адаптация)

В появившемся окне адаптации пользовательского интерфейса настраиваем отображение требуемых параметров, в нашем случае добавляем параметры Начальный угол (Start angle) и Конечный угол (End angle) и нажимаем Применить.

Изменяем Начальный угол (Start angle) – устанавливаем его в 0. Затем в окошке Конечный угол (End angle) нажимаем значок встроенного калькулятора:

В появившемся окне «вычисляем» угол. Набираем с клавиатуры 360* и жмем кнопку с линейкой:

Указываем на экране радиус основания конуса двумя точками (середина основания и нижняя вершина треугольника). Затем c клавиатуры вводим знак деления / и таким же образом указываем длину образующей конуса. В итоге в окне появляется выражение с параметрами вашего конуса:

Жмем Применить (Apply), и угол автоматически вычисляется и присваивается свойству Конечный угол (End angle):

3. Построим основание конуса, чтобы развертка стала полной, и проверим правильность построений. Строим окружность на основании треугольника, как на диаметре, и переносим ее так, чтобы она касалась наружной дуги развертки:

Вот готовая развертка:

Теперь, если по очереди выделить окружность-основание и дугу, можно в свойствах сравнить их длины. У окружности это свойство называется Длина окружности (Circumference), у дуги – Длина дуги (Arc length):

Если построения выполнены правильно, числа должны совпасть.

Как видим, строить развертку конуса (как и многих других геометрических тел) в Autocad гораздо проще, чем на бумаге.

• Об авторе

Студия Vertex

с 2009 года специализируется на выпуске образовательных курсов посвященных использованию популярных современных САПР.