Круглый конус в геометрии
Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.
Вам будет интересно:Юридический колледж в Иваново: специальности, приемная комиссия, отзывы
Круг называется основанием фигуры, его окружность — это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются — это вершина конуса.
Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Вам будет интересно:Термофильные бактерии: польза и вред для человека
Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.
Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.
Правильное изображение конуса карандашом — объем
Для того, чтобы придать нашему конусу объем, нам стоит добавить свет и тень. Обозначаем границу света и тени, найти самый светлый участок. В конусе присутствуют следующие теневые участки:
- полутон;
- свет;
- блик;
- свет;
- полутон;
- тень;
- блик.
Именно это распределение света и тени смогут сделать конус объемным. Центр блика зависит от того, откуда идет освещение.
Штрихи идут по форме, при этом четких границ между светом и тенью отсутствует.
На занятиях наши педагоги рассказывают, каким образом правильно создавать рисунок конуса, проводят лекционные и практические группы.
Did you find apk for android? You can find new Free Android Games and apps.
Получение фигуры с помощью вращения
Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.
Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c — это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.
Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b — его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.
Объем фигуры
Как и любая фигура в пространстве, усеченный конус тоже обладает некоторым объемом. Этот объем ограничен двумя основаниями и боковой поверхностью. Здесь не будем приводить подробный вывод соответствующей формулы для V. Запишем, как и в случае с площадью поверхности, лишь конечный результат:
V = h × pi / 3 × (r12 + r22 + r1 × r2)
Эта формула, в отличие от выражения для площади S, в качестве параметров содержит радиусы усеченного конуса и его высоту.
Далее в статье покажем, как следует использовать приведенные формулы для решения конкретной геометрической задачи.
Вид развертки конуса
Как можно догадаться, конус образован двумя типами поверхностей. Одна из них — это плоский круг основания. Предположим, что он имеет радиус r. Вторая поверхность является боковой и называется конической. Пусть ее образующая будет равна g.
Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем, коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса. Две поверхности вместе с исходным конусом показаны на схеме ниже.
Внизу справа изображен круг основания. По центру показана развернутая коническая поверхность. Оказывается, что она соответствует некоторому круговому сектору круга, радиус которого равен длине образующей g.
Развёртывание поверхности многогранника
Развёрткой многогранника называется фигура, полученная в результате последовательного совмещения граней многогранника с плоскостью. Развёртка всегда строится наружной (лицевой) стороной к наблюдателю.
Способ натуральных граней
Согласно свойствам развёртки (см. п. 5.1) все грани многогранника Ф сохраняют на развёртке свою длину, для определения которой используются способы начертательной геометрии.
На рис. 5.4 построены горизонтальная и фронтальная проекции треугольной пирамиды SABC. Основа АВС является плоскостью горизонтального уровня, поэтому проецируется на П1 в натуральную величину А1В1С1. Для определения натуральных величин граней SAB, SBC, SCA используется способ вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси і, которая проходит через вершину S пирамиды. Отрезки являются натуральными величинами ребер SA, SB, SC пирамиды. По этим ребрам строится развёртка пирамиды. Вырезав плоскую заготовку из контура развёртки и сложив её по линиям сгиба и совмещая одноименные рёбра, можно получить поверхность данной пирамиды SABC.
Способ натуральных граней
Для определения на развёртке произвольной точки D пирамиды применяется способ вспомогательного отрезка. Точка D принадлежит грани SАС. Через вершину S и точку D проводится отрезок S-1, точка 1 которого принадлежит основе АВС пирамиды. Определяется натуральная величина отрезка S-1, на нём определяется проекция На отрезке развёртки строится отрезок , длина которого равна длине проекции
Способ нормального сечения
Способ нормального сечения применяется для построения развёртки призм, ребра которых являются прямыми уровня.
Суть способа нормального сечения
Призма пересекается в произвольном месте плоскостью Σ, перпендикулярной рёбрам. Определяется натуральная величина линии 1 – 2 – … нормального сечения. Эта линия является плоским многоугольником, количество сторон которого равно количеству граней призмы. Линия 1 – 2 – … разворачивается до формы прямого отрезка … На перпендикулярах, проведенных по обе стороны от точек …, строятся части натуральных величин рёбер пирамиды, которые находятся по разные стороны секущей плоскости Σ.
На рис. 5.5 заданы две проекции треугольной призмы ABCDEF с рёбрами AD, BE, CF горизонтального уровня. Вводится секущая плоскость Σ, перпендикулярная рёбрам призмы (горизонтальный след Σ1 перпендикулярен горизонтальным проекциям рёбер призмы). Плоскость Σ пересекает призму по треугольнику 1 – 2 – 3, точки которого принадлежат, соответственно, рёбрам AD, BE, CF. Способом замены плоскостей проекций определяется натуральная величина нормального сечения (ось параллельна следу Σ1). Треугольник разворачивается до формы прямого отрезка длины частей которого равны соответствующим сторонам треугольника На перпендикулярах, проведенных по обе стороны от точек строятся отрезки длины которых равны длинам проекций На развёртке достраиваются натуральные величины основ АВС, DEF призмы.
Способ нормального сечения
Для определения на развёртке произвольной точки G призмы применяется способ вспомогательных отрезков. Точка G принадлежит грани ABDE. Через точку G проводится отрезок 4 – 5, параллельный рёбрам призмы. Точка 4 принадлежит отрезку АВ, точка 5 – отрезку DE. Определяется точка 6 пересечения отрезка 4 – 5 с плоскостью Σ. Точка 6 принадлежит отрезку 1 – 2. Определяется проекция На отрезке развёртки строится отрезок , длина которого равна длине проекции Из точки развёртки призмы проводится отрезок в направлении, перпендикулярном отрезку в сторону точки Длина отрезка равна длине проекции
Способ раскатки
Способ раскатки применяется для развёртывания призмы, основа которой параллельна одной плоскости проекций, а боковые рёбра параллельны другой плоскости проекций.
Из точек 1, 2, … основы … верхней грани призмы проводятся лучи, перпендикулярные боковым рёбрам … На этих лучах строятся точки … так, что длины отрезков … равны натуральным величинам отрезков , …
На рис. 5.6 заданы две проекции треугольной призмы с основой 1 – 2 – 3 и верхней гранью горизонтального уровня и рёбрами фронтального уровня. Из фронтальных проекций проводятся лучи, перпендикулярные фронтальным проекциям На этих лучах по очереди откладываются точки так, что длины отрезков равны натуральным величинам отрезков
Способ раскатки
Для определения на развёртке произвольной точки А призмы применяется способ вспомогательного луча. Точка А принадлежит грани Через точку А проводится отрезок параллельный рёбрам призмы, точка 4 которого принадлежит отрезку 1 – 3 основы. Из проекций проводятся лучи перпендикулярные фронтальным проекциям рёбер призмы. Из точки принадлежащей отрезку развёртки, проводится отрезок параллельный отрезку до пересечения с лучом
Угол и площадь развертки
Теперь получим формулы, которые по известным параметрам g и r позволяют рассчитать площадь и угол развертки конуса.
Очевидно, что дуга кругового сектора, показанного выше на рисунке, имеет длину, равную длине окружности основания, то есть:
l = 2*pi*r.
Если бы весь круг радиусом g был построен, то его бы длина составила:
L = 2*pi*g.
Поскольку длина L соответствует 2*pi радианам, тогда угол, на который опирается дуга l, можно определить из соответствующей пропорции:
L ==> 2*pi;
l ==> φ.
Тогда неизвестный угол φ будет равен:
φ = 2*pi*l/L.
Подставляя выражения для длин l и L, приходим к формуле для угла развертки боковой поверхности конуса:
φ = 2*pi*r/g.
Угол φ здесь выражен в радианах.
Для определения площади Sb кругового сектора воспользуемся найденным значением φ. Составляем еще одну пропорцию, только уже для площадей. Имеем:
2*pi ==> pi*g2;
φ ==> Sb.
Откуда следует выразить Sb, а затем, подставить значение угла φ. Получаем:
Sb = φ*g2*pi/(2*pi) = 2*pi*r/g*g2/2 = pi*r*g.
Для площади конической поверхности мы получили достаточно компактную формулу. Величина Sb равна произведению трех множителей: числа пи, радиуса фигуры и ее образующей.
Тогда площадь всей поверхности фигуры будет равна сумме Sb и So (площадь круглого основания). Получаем формулу:
S = Sb + So = pi*r*(g + r).
Рисунок цилиндра
Цилиндр представляет собой простое тело вращения, у которого диаметр верхнего и нижнего основания равны, а плоскости оснований параллельны друг другу. Образующая представляет собой вертикальную линию, перпендикулярную основанию, которая вращается по окружности.
Последовательность работы над цилиндром такая же, как над рисунком конуса.
Сначала намечаем место цилиндра в листе, сразу же легким штрихом выявляем объёмную форму.
Затем работа ведётся последовательно, от большого к малому, от целого к детали. Старайтесь не давить излишне на карандаш, особенно при рисовании вспомогательных линий построения. Ластиком пользуйтесь как можно меньше. Если хотите поправить рисунок, то сначала обязательно нарисуйте правильную линию и только после того, как верная линия нарисована, можно стереть неверную. Когда стирают линию, а потом рисуют заново, то, как правило, повторяют уже сделанную ошибку.
Сначала определяем высоту, а затем ширину цилиндра, насколько она меньше. Для сравнения высоты с шириной берите за основу расстояние между нижними краями эллипсов в центральной части цилиндра.
После того, как найдены основные пропорции, рисуем осевую линию. Ось симметрии делит цилиндр ровно пополам.
Построение эллипсов начинаем с верхнего. Нам хорошо видно, как он развёрнут. Нижний эллипс развёрнут больше, чем верхний, в соответствии с законами перспективы.
Граница светотени у цилиндра проходит по вертикальной линии. Форма меняется плавно, поэтому границы размыты. Штрих кладём по форме, в вертикальном направлении. Удаляющиеся поверхности на свету становятся темнее, а в тени, наоборот, светлее. Верхнее основание оказывается в полутоне, если освещение преимущественно сбоку. Штрих этой горизонтальной плоскости аналогичен штриховке верхнего основания куба. Передний край падающей тени берёт своё начало от точки границы светотени в основании цилиндра, а дольний край тени начинается от аналогичной точки на невидимой стороне.
На завершающем этапе работы уточняем форму штрихом в горизонтальном направлении. Верхняя часть чуть ближе к свету, она будет светлее. Теневая часть подсвечена снизу, а сверху тень в контрасте с верхним основанием. Поэтому самая тёмная часть тени окажется вверху.
Построение развертки конуса на бумаге
Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.
В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.
Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:
φ = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216o.
Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.
Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.
Определение диаметра через объем и высоту
Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:
V = 1/3*S*h
Здесь S — площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:
V = 1/3*pi*r2*h
Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.
Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.
Построение принта
В векторной программе
Импортируем полученную в генераторе векторную развертку в CorelDRAW, затем импортируем или вставляем из буфера нужное для печати изображение. Дальнейшие шаги можно посмотреть на видео How to create the printing image for conical mugs with CorelDRAW. Взято на канале Print Equipment GmbH & Co. KG.
Как создать печатное изображение для конических кружек с помощью CorelDRAW
Простое автоматическое деформирование растрового изображения под векторную форму развертки усеченного конуса, с помощью инструмента “Envelope” (Конверт), показано в видео Latte mug distortion with Corel Draw 2022. Взято на канале Alan Drury Signwriting.
Искажение растровых и векторных объектов для печати кружек латте с помощью Corel Draw 2022 и инструмента “Envelope” (Конверт)
Ещё один вариант построения взят на may-small-blog. Переходим по ссылке, статья называется “Искривление дизайна под этикетку на конус в Иллюстраторе.”
В растровой программе
Открываем полученную в генераторе растровую развертку в PhotoShop, на верхний слой размещаем изображение. Деформирование растровой картинки с помощью инструмента Warp показано на видео Latte Mug Placing a design using Photoshop for Sublimation. Взято на канале Sublimation for Beginners and Beyond.
В специализированных САПР
На видео Warping & 3D Conical cups показан процесс наложения готового дизайна на развертку стаканчика, с помощью системы проектирования упаковки PACKZ. Взято на канале HYBRID Software.
PACKZ – Warping & 3D Conical cups
Компания Esko-Graphics BV, в дополнение к ArtiosCAD, предлагает своё решение по дизайну принтов для этикеток нестандартной формы — программный инструмент Studio для Adobe Illustrator. На видео Warp artwork on conical labels with Studio, пример деформации рисунка для конических этикеток. Взято на канале Esko.
Warp artwork on conical labels with Studio
Компания Appsforlife Software предлагает своё решение для создания конических этикеток — Boxshot 5. Пройдя по этой ссылке вы найдете инструкцию по работе с Boxshot 5 для создания Conical Labels.
Инструкция по работе с Boxshot 5 для создания Conical Labels
Скачать демоверсию Boxshot 5:
Boxshot 5 132.67 MB 12 downloads
Product and packaging mockup software …
