Использование формулы массы через плотность и объём

Физика — наука невероятно увлекательная, если разобраться, что там к чему. А формулы в ней отражают реальные физические процессы, только в цифрах. И если вы будете понимать, почему формула именно такова, то учиться будет много легче. Но все сразу рассказать невозможно, и сегодня мы разберемся, как произвести нахождение массы через плотность и объём.

Прежде, чем приступить к изучению формул массы, плотности и объёма, следует уточнить некоторые детали:

• Во-первых, объём вещества зависит от температуры. При нагревании твёрдое вещество расширяется, при низкой температуре уменьшается. Есть также особые моменты, как в случае с жидким водородом. Он не может существовать при высокой температуре, потому что превратится в газ.
• Во-вторых, разные организации и страны имеют свои стандарты условий, при которых проводятся измерения. Иными словами, числовой показатель плотности одного и того же вещества в разных странах будет отличаться. Поэтому, прежде чем утверждать, что показатели неверные или правильные, следует уточнить условия, при которых эти показатели были получены.
• В-третьих, помимо температуры, на фактор объёма могут влиять и такие показатели, как атмосферное давление. Оно особо важно при измерении плотности газов, так как на твёрдые вещества это практически не влияет.

Формула и удивительная история её возникновения

Самая обычная формула для большинства случаев имеет вид: m = pV , где m – масса тела, p и V – плотность вещества и его объём, занимаемый в пространстве соответственно. Можно, конечно, не заморачиваться и посчитать всё на онлайн-ресурсах, но знать формулу всё же полезно. Соответственно V = m / p , p = m / V .

Самое интересное – это то, что формулу нашёл мужик, который бегал голышом по улице и был при этом другом царя. Интересно? Тогда следующие три абзаца для вас.

Был в Древней Греции такой царь-тиран, как Гиерон II. Он начал подозревать, что его корону сделали не из чистого золота и ювелиры его облапошили. Но Гиерон не знал, как можно это доказать. Тогда он обратился к умнейшему человеку того времени – Архимеду. Получив приказ разобраться с делами государственной важности, Архимед день за днём стал искать решение вопроса.

Ох, и нелёгкая же задачка выпала учёному. Ведь на то время не было ни нужных формул, ни современных девайсов, ни гугла, чтобы быстренько найти решение. И вот однажды, придя в баню и погрузившись в неё, Архимед заметил, что выливающаяся вода равна по объёму тому, что погружено в воду.

Эврика! – Прокричал Архимед и нагишом поспешил в свою лабораторию проводить опыты. Учёный сложил все данные в своей голове и позже проделал следующий опыт: он взял корону и опустил её в воду. Затем он взял кусок золота такого же веса и опустил его также в воду. Объём вытесненной воды получился разным. Если бы корона была сделана из чистого золота, то её объём и слитка совпали. Это доказывало то, что ювелиры обманули царя. Кто бы мог подумать, что одно из величайших открытий появилось благодаря обманщикам, тирану и учёному.

Масса сплошной детали

Главная > Вычисление масс > Масса сплошной детали

9.05.2013 // Владимир Трунов

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей): Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр. Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота. Тогда масса:

Масса цилиндра

Объем цилиндра: , где — диаметр основания, — высота цилиндра. Тогда масса:

Масса шара

Объем шара: , где — диаметр шара. Тогда масса:

Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента. Тогда масса:

Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса. Для круглого конуса: , где — диаметр основания, — высота конуса. Масса круглого конуса:

Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем: , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса. Отсюда масса:

Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды. Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды. Тогда масса пирамиды:

Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями и : , где , . Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды. И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: . Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

или

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

вычисление массы

Похожие записи

• Масса пластины

• Масса полой детали

• Масса обручального кольца

Обозначения и термины

Далее будет приведён список понятий и их определение в условиях понятий об измерениях плотности:

• Масса – плотность тела, помноженная на его объём, занимаемый в пространстве. Это также величина, определяющая силу воздействия гравитационного поля на объект.
• Объём – физическая величина, характеризующая количество пространства, занимаемое объектом.
• Плотность определяет то, какое количество вещества умещается в объёме при определённом весе в стандартных условиях.
• Нормальные/стандартные условия в разных организациях имеют свои значения. К таким условиям относятся температура окружающей среды, атмосферное давление и в отдельных случаях прочие параметры.
• Атмосферное давление – понятие, применяемое больше для газов, так как на их объём имеет большое влияние, нежели на твёрдые вещества. Атмосферное давление можно определить как силу, с которой воздействует воздух на Землю под действием гравитационного поля.
• Температура – физический показатель степени нагрева вещества. Чем больше температура, тем больше объём тела.

Определение и формула массы тела

Определение

В механике Ньютона массой тела называют скалярную физическую величину, которая является мерой инерционных его свойств и источником гравитационного взаимодействия. В классической физике масса всегда является положительной величиной.

Масса

– аддитивная величина, что означает: масса каждой совокупности материальных точек (m) равна сумме масс всех отдельных частей системы (mi):
$$m=\sum_{i=1}^{n} m_{i}(1)$$
В классической механике считают:

• масса тела не является зависимой от движения тела, от воздействия других тел, расположения тела;
• выполняется закон сохранения массы: масса замкнутой механической системы тел неизменна во времени.

Примеры решения задач

Прежде чем приступить к примерам, следует понимать, что если данные даны в килограммах и кубических сантиметрах, то нужно либо сантиметры перевести в метры, либо килограммы перевести в граммы. По такому же принципу надо переводить и остальные данные – миллиметры, тонны и так далее.

Задача 1. Найти массу тела, состоящего из вещества, плотность которого равна 2350 кг/м³ и имеет объём 20 м³. Применяем стандартную формулу и с лёгкостью находим значение. m = p*V= 2 350 * 20 = 47 000 кг.

Задача 2. Уже известно, что плотность чистого золота без примесей равна 19,32 г/см³. Найти массу драгоценной цепочки из золота, если объём составляет 3,7 см³. Воспользуемся формулой и подставим значения. p = m / V = 19,32/3,7 = 5,22162162 гр.

Задача 3. На склад поставили металл с плотностью 9250 кг/м³. Масса составляет 1,420 тонн. Нужно найти занимаемый металлом объём. Тут нужно сначала перевести либо тонны в килограммы, либо метры в километры. Проще будет воспользоваться первым методом. V = m / p = 1420/9250 = 0.153513514 м³.

Расчет массы тела по его плотности

Знание плотности веществ очень важно для многих практических целей. Для инженеров и строителей, например, знание плотности имеет колоссальное значение — так они могут рассчитать массу будущего механизма или строения.

Плотность определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим отсюда массу:

$$m = \rho V$$

Чтобы рассчитать массу тела, если известны его объем и плотность, нужно плотность умножить на объем.

Рассмотрим пример задачи на расчет массы. Рассчитайте массу детали, изготовленной из латуни, объемом $0,15 м^3$.

Из таблицы 1 предыдущего параграфа берем значение плотности латуни. Она равна $8500 \frac{кг}{м^3}$.

Дано: $\rho = 8500 \frac{кг}{м^3}$ $V = 0,15 м^3$

Найти: $m -?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение: $m = \rho \cdot V$ $m = 8500 \frac{кг}{м^3} \cdot 0,15 м^3 = 1275 кг \approx 1,3 т$

Ответ: $m = 1275 кг \approx 1,3 т$.

Зачем и кому нужно знать эти формулы

В любой стране есть стандарты, по которым производится продукция. Неважно, какая это отрасль – пищевая, химическая или другая. Стандарты также могут быть мировыми. Так вот для того чтобы выпускаемая на заводах продукция соответствовала этим стандартам и нужны знания о плотности, массе и объёме.

Но зачем кому-то придерживаться чьих-то правил? Для начала, эти правила взяты не с потолка. К этому пришли разные бизнесмены со всего мира и нашли оптимальное решение, удовлетворяющее как производителей, так и конечных пользователей продукта. Если бы все выпускали продукцию как им вздумается, то людям было бы очень тяжело выбрать производителя. Ведь даже сейчас, со всеми стандартами и ГОСТами выбор просто огромный.

Кроме того, игнорируя физику и математику, можно выработать продукцию себе же в убыток или сделать продукцию, которая не оправдает ожиданий и будет выглядеть не так, как задумывал производитель. Есть и другие ситуации, где необходимы знания подобного рода – при подсчёте планируемого объёма, который займёт продукция на складе; вес продукции, которую нужно будет перевести и т.д.

Эти знания могут потребоваться инженерам, технологам, конструкторам и прочим профессиям, чья деятельность связана с физическими материалами. Конечно, для простого обывателя эти знания могут и не пригодиться. Однако, стоит вспомнить про случай с Архимедом и тогда вы поймёте, что знания – защита от обмана и настоящая сила!

Расчет объема тела по его плотности

Подобным образом выразим из формулы плотности объем:

$$V = \frac{m}{\rho}$$

Чтобы рассчитать объем тела, если известны его масса и плотность, нужно массу разделить на плотность.

Данной формулой для определения объема часто пользуются в тех случаях, когда тела имеют сложную неправильную форму.

Рассмотрим пример задачи на расчет объема. Молоко в бутылке имеет массу 1,03 кг. Рассчитайте объем бутылки.

В таблице 2 прошлого параграфа находим молоко: его плотность равна $1030 \frac{кг}{м^3}$.

Дано: $\rho = 1030 \frac{кг}{м^3}$ $m = 1,03 кг$

Найти: $V -?$

Решение: $V = \frac{m}{\rho}$ $V = \frac{1,03 кг}{1030 \frac{кг}{м^3}} = 0,001 м^3 = 1 л$

Ответ: $V = 0,001 м^3 = 1 л$.

Что такое формула плотности?

Расчеты не слишком сложные, а очень простые. Просто введите значения в следующее уравнение плотности, чтобы легко вычислить любую из требуемых переменных:

р = м / В

Где,

V – объем & m – масса объекта.

Если вы хотите найти объем с помощью плотности и массы, калькулятор плотности использует формулу:

V = м / п

Чтобы найти массу с плотностью и объемом, рассмотрите следующую формулу:

т = р * V

Плотность можно определить как массу на единицу объема объекта. Со значениями введите единицы измерения, и этот калькулятор выполнит преобразование единиц измерения.

Общие методики определения масс планет

Наиболее классический способ, как узнать массу планет – расчет при помощи формул третьего закона Кеплера. Он гласит, что квадраты периодов обращения планет соотносятся так же, как кубы больших полуосей орбит. Ньютон немного уточнил этот закон, внеся в формулу массы небесных тел. На выходе получилась такая формула –

Таким способом можно найти массу всех планет Солнечной системы и самого Солнца.И периоды обращения, и большие полуоси орбит планет Солнечной системы легко измеряются астрономическими методиками, доступными даже без сложных инструментов. А так как массу Земли мы уже рассчитали, можно все цифры подставить в формулу и найти конечный результат.

В отношении же экзопланет и других звезд (но только двойных) в астрономии обычно применяется метод анализа видимых возмущений и колебаний. Он основан на том факте, что все массивные тела “возмущают” орбиты друг друга.

Такими расчетами были открыты планеты Нептун и Плутон, еще до их визуального обнаружения, как говорят “на кончике пера”.

Опытное подтверждение

Рассмотрим опыт, представленный на рисунке 1.

Рисунок 1. Взвешивание двух одинаковых тел, состоящих из разных веществ.

Возьмем два одинаковых цилиндра: они одинаковой формы и объема, но изготовлены из разных материалов.

Один сделан из алюминия, а другой из свинца. Поместим их на разные чаши весов.

В итоге, мы увидим, что масса цилиндра из алюминия будет почти в 4 раза меньше массы цилиндра из свинца.

Тела, имеющие равные объемы, но состоящие из разных веществ, имеют разные массы.

На рисунке изображены 3 тела массой 100 г: лед, железо и золото.

Рисунок 2. Тела одинаковой массы, но состоящие из разных веществ.

Здесь представлены тела одинаковой массы, но взгляните на их объем. Объем льда будет почти в 8,5 раз больше объема куска железа той же массы. А объем золота будет почти в 3 раза меньше объема железа.

Тела с равными массами, но состоящие из разных веществ, имеют разные объемы.

Значения масс планет Солнечной системы

Итак, мы разобрались с общими методиками расчета масс разных небесных тел и посчитали значения для Луны, Земли и Галактики. Давайте теперь составим рейтинг планет нашей системы по их массе.

Возглавляет рейтинг с наибольшей массой планет Солнечной системы – Юпитер, которому не хватило одного порядка чтобы наша система стала двойной. Еще чуть-чуть и у нас могло быть два Солнца, второе вместо Юпитера. Итак, масса этого газового гиганта равняется 1,9 × 10²⁷ кг.

Интересно, что Юпитер – единственная планета нашей системы, центр масс вращения с Солнцем которой расположен вне поверхности звезды. Он отстоит примерно на 7% расстояния между ними от поверхности Солнца.

Вторая по массе планета – Сатурн, его масса 5,7 × 10²⁶ кг. Следующим идет Нептун – 1 × 10²⁶. Четвёртая по массе планета, газовый гигант Уран, масса которого – 8,7 × 10²⁵ кг.

Далее идут планеты земной группы, каменистые тела, в отличие от газовых гигантов с их большим радиусом и относительно малой плотностью.

Самой тяжелой из этой группы является наша планета, ее массу мы уже рассчитали. Далее идет Венера, масса этой планеты равняется 4,9 × 10²⁴ кг. После нее в рейтинге идет Марс, он почти в 10 раз легче – 6,4 × 10²³кг. И замыкает его, как планета самой маленькой массы, Меркурий – 3,3 × 10²³кг. Что интересно, Меркурий даже легче, чем два спутника в Солнечной системе – Ганимед и Каллисто.

Как пользоваться калькулятором плотности:

Следуйте данным инструкциям по расчету с помощью этого онлайн-инструмента. С помощью этого калькулятора вы можете производить расчеты в простом и продвинутом режимах. Давайте взглянем!

Входы:

• Прежде всего, выберите во вкладке то, что вам нужно найти.
• Затем введите значения во все обозначенные поля в соответствии с выбранной опцией.
• Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выходы:

Как только вы заполните все поля, калькулятор покажет:

• Плотность объекта
• Масса объекта
• Объем объекта
• Корень кубический из объема

Заметка:

Есть дополнительное поле, где вы можете ввести категорию материала и название материала, этот калькулятор найдет плотность выбранного материала. Если вы не знаете значение объема, используйте предварительный вариант этого калькулятора для расчета объема, в противном случае используйте простой режим.

Что такое цилиндр?

Перед тем как переходить к ответу на вопрос, чему равна масса цилиндра и его объем, стоит рассмотреть, что представляет собой эта пространственная фигура. Сразу необходимо отметить, что цилиндр — это трехмерный объект. То есть в пространстве можно измерить три его параметра по каждой из осей в декартовой прямоугольной системе координат. В действительности для однозначного определения размеров цилиндра достаточно знать всего два его параметра.

Цилиндр — это объемная фигура, образованная двумя кругами и цилиндрической поверхностью. Чтобы яснее представить этот объект, достаточно взять прямоугольник и начать вращать его вокруг какой-либо его стороны, которая будет осью вращения. В этом случае вращающийся прямоугольник опишет фигуру вращения — цилиндр.

Две круглые поверхности называются основаниями цилиндра, они характеризуются определенным радиусом. Расстояние между основаниями называется высотой. Два основания соединены между собой цилиндрической поверхностью. Линия, проходящая через центры обоих кругов, называется осью цилиндра.

Измерение массы и объема. Плотность вещества

п.7. Лабораторная работа №5. Определение плотности жидкостей

Цель работы
Научиться измерять массу и объем жидкостей. Научиться определять жидкости по плотности, оценивать погрешность полученных результатов.

Теоретические сведения

Для определения массы тел в данной работе используется метод двойного взвешивания (см. выше в данном параграфе).

Масса тела определяется как среднее арифметическое двух взвешиваний на разных чашках весов: $$ m=\frac{m_1+m_2}{2}. $$ Абсолютная погрешность двойного взвешивания – это большая из двух величин $$ \Delta m=max(|m_1-m_2|;\ 0,01\text{%}m) $$ Пусть масса стакана с жидкостью равна \(M\), абсолютная погрешность этого взвешивания \(\Delta M\); масса пустого стакана \(m_{\text{ст}}\), абсолютная погрешность \(\Delta m_{\text{ст}}\). Тогда масса жидкости $$ m=M-m_{\text{ст}} $$ Абсолютная и относительная погрешности определения массы жидкости $$ \Delta m=\Delta M+\Delta m_{\text{ст}},\ \ \delta_m=\frac{\Delta m}{m}\cdot 100\text{%} $$ Мерный цилиндр проградуирован в миллилитрах. Для расчёта плотности жидкости в системе СИ необходимо помнить, что $$ 1\ \text{мл}=1\ \text{cм}^3=10^{-6}\ \text{м}^3 $$ Абсолютная погрешность измерения объема жидкости равна половине цены деления мерного цилиндра $$ \Delta V=\frac d2 $$ Относительная погрешность равна $$ \delta_V=\frac{\Delta V}{V}\cdot 100\text{%}. $$ Плотность жидкости равна $$ \rho=\frac mv. $$ Относительная погрешность результата $$ \delta_{\rho}=\delta_m+\delta_V. $$ Абсолютная погрешность результата $$ \Delta\rho=\rho\cdot \delta_{\rho} $$ Перевод полученных результатов в систему СИ $$ 1\frac{\text{г}}{\text{см}^3}= \frac{10^{-3}\ \text{кг}}{10^{-6}\ \text{м}^3}=10^3\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}=1000\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} $$

Приборы и материалы

Два стакана с неизвестными жидкостями; мерный цилиндр; весы с разновесом.

Ход работы

1. Приготовьте весы к взвешиванию. 2. Поставьте на весы первый стакан с жидкостью. Методом двойного взвешивания определите массу стакана и жидкости \(M_1\). Оцените абсолютную погрешность взвешивания. 3. Вылейте жидкость из первого стакан в мерный цилиндр и определите её объем \(V_1\). Оцените абсолютную погрешность измерения объема. 4. Методом двойного взвешивания определите массу первого стакана \(m_{\text{ст1}}\). Оцените абсолютную погрешность взвешивания. 5. По формулам, данным в теоретической части, определите плотность жидкости, относительную и абсолютную погрешности полученного результата. 6. По таблице в справочнике определите, какая жидкость находится в первом стакане. 7.-11. Повторите шаги 2.-6. для второго стакана с жидкостью. 12. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Цена деления мерного цилиндра \(d=1\ \text{мл}=1\ \text{см}^3\)
Первый стакан

Масса первой жидкости

\begin{gather*} m=151,0-50,0=101,0,\\ \Delta m=0,4+0,2=0,6,\\ \delta_m=\frac{0,6}{101,0}\cdot 100\text{%}=0,59\text{%} \end{gather*}

Объем первой жидкости

\begin{gather*} V=109\ \text{мл},\\ \Delta V=\frac d2=0,5\ \text{мл},\\ \delta_V=\frac{0,5}{109}\cdot 100\text{%}=0,46\text{%} \end{gather*}

Плотность первой жидкости

\begin{gather*} \rho=\frac mV=\frac{101,0}{109}\approx 0,927\frac{\text{г}}{\text{см}^3}=927\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\\ \delta_{\rho}=\delta_m+\delta_V=0,59\text{%}+0,46\text{%}\approx 1,1\text{%},\\ \delta \rho=\rho\cdot\delta_{\rho}=927\cdot 0,011\approx 10\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\\ \rho=(927\pm 10)\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\\ \delta_{\rho}=1,1\text{%} \end{gather*}

В первом стакане – подсолнечное масло.

Второй стакан

Масса второй жидкости

\begin{gather*} m=100,3-50,0=50,3,\\ \Delta m=0,2+0,1=0,3,\\ \delta_m=\frac{0,3}{50,3}\cdot 100\text{%}=0,6\text{%} \end{gather*}

Объем второй жидкости

\begin{gather*} V=50\ \text{мл},\\ \Delta V=\frac d2=0,5\ \text{мл},\\ \delta_V=\frac{0,5}{50}\cdot 100\text{%}=1,0\text{%} \end{gather*}

Плотность второй жидкости

\begin{gather*} \rho=\frac mV=\frac{50,3}{50,0}= 1,006\frac{\text{г}}{\text{см}^3}=1006\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\\ \delta_{\rho}=\delta_m+\delta_V=0,6\text{%}+1,0\text{%}= 1,6\text{%},\\ \delta \rho=\rho\cdot\delta_{\rho}=1006\cdot 0,016\approx 16\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\\ \rho=(1006\pm 16)\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\\ \delta_{\rho}=1,6\text{%} \end{gather*}

Во втором стакане – вода.

Выводы

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы. Для определения плотности жидкости в работе методом двойного взвешивания измерялась масса (стакана с жидкостью и пустого стакана) и объем жидкости в мерном цилиндре.

Результаты для двух данных жидкостей

\begin{gather*} \rho_1=(927\pm 10)\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\ \ \delta_{\rho 1}=1,1\text{%}\\ \rho_2=(1006\pm 16)\frac{\text{кг}}{\text{м}^3},\ \ \delta_{\rho 2}=1,6\text{%} \end{gather*}

По таблицам в справочнике было определено, что в первом стакане – растительное масло, а во втором – вода. Полученные результаты также подтверждаются цветом (желтоватый – для масла, прозрачный – для воды) и запахом (характерный запах у масла и отсутствие запаха у воды).