Усеченный конус: формула объема, площади поверхностей и другое

Понятие

Принципы образования геометрического тела просты. Представим две параллельные плоскости a и a1. С расположенной на первой точке перпендикуляр опускается на вторую. Точка на a1 – основание перпендикуляра, она является центром круга. Если соединить точку на плоскости a с каждой точкой круга на a1, получится конус. Основание перпендикуляра его – высота.

Второй вариант образования рассматриваемого геометрического тела: прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании – диаметром нижней поверхности, гипотенуза – образующей.

Длина образующих одинакова, их совокупность называется боковой поверхностью. Квадрат длины образующей равняется сумме квадратов высоты и радиуса основания (из теоремы Пифагора): l2 = h2 + r2. Отсюда

Какую фигуру будем изучать?

Круглый прямой усеченный конус представляет собой два круга, имеющих разный диаметр, которые расположены в параллельных плоскостях. Окружности этих кругов соединены прямыми отрезками равной длины, именуемых образующими фигуры. Расстояние между круглыми основаниями называется высотой. Описанная фигура показана ниже на фото.

Получить ее можно двумя принципиально отличающимися геометрическими способами. Во-первых, можно взять обычный круглый конус и параллельной его основанию плоскостью отсечь верхнюю часть. Такое действие приведет к образованию верхнего (малого) основания усеченного конуса. Во-вторых, можно взять трапецию с двумя прямыми углами и вращать ее вокруг стороны, ограниченной этими углами. Сторона трапеции, вокруг которой будет происходить вращение, называется осью фигуры. Две параллельные стороны трапеции опишут круглые основания во время вращения, а четвертая наклонная сторона образует боковую поверхность фигуры.

Схема выше демонстрирует получение усеченного конуса с помощью сечения плоскостью.

Разновидности конусов

В геометрии насчитывают почти десяток типов конусов:

• Прямой круговой – нижняя грань представлена кругом – фигурой, имеющей центр симметрии. Ось, которая проходит от вершины к центру основания, перпендикулярна плоскости последнего.
• Наклонный либо косой – проекция вершины на нижнюю поверхность не совпадает с его центром.
• Круговой – с кругом в центре.
• Прямой – нижняя поверхность представлена кругом либо эллипсом. Центр нижней поверхности совпадает с проекцией вершины на неё.
• Гиперболический, параболический, эллиптический – опираются на соответствующие фигуры.
• Равносторонний – образующая равна диаметру нижней поверхности.
• Усеченный – ограниченный плоскостью, параллельной основанию. Располагается между ним и вершиной геометрического тела.
• Двойной – два одинаковых тела имеют общую вершину или основание и ось – проходит через оба тела.

Сечение плоскостью призмы, пирамиды, цилиндра и конуса

СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ

В заданиях на построение усечен­ных геометрических тел можно выде­лить следующие задачи: 1) построе­ние усеченного тела в системе трех плоскостей проекций; 2) определение истинной величины фигуры сечения; 3) построение развертки усеченного тела и 4) вычерчивание его аксоно­метрической проекции. Ниже помеще­ны рекомендации по решению каждой из перечисленных задач.

Вначале по положению секущей плоскости определяют вид фигуры се­чения и в зависимости от формы гео­метрического тела выбирают прием построения проекций сечения. В зада­ниях секущие плоскости занимают проецирующее положение, поэтому одна проекция сечения задается. Не­достающие проекции фигуры сечения призмы или пирамиды строят по точ­кам пересечения их ребер с заданной плоскостью. Если же плоскость пере­секает поверхность вращения по ле­кальной кривой, то начинают с определения ее характерных точек.

Например, фронтально проецирующая плоскость Р (рис. 106) пересекает цилиндр по не­полному эллипсу. Его характерными точками являются: 1) А и В — точки, принадлежащие линии пересечения плоскости Р с основанием цилиндра; 2) С — конец большой оси эллипса; 3) D и Е — концы малой оси эллипса и они же точки, лежащие на очерковых образующих ци­линдра Последовательность нахождения точек эллипса указана стрелками на примере проме­жуточных точек 1 и 2.

Рис. 106

Истинную величину фигуры сече­ния определяют с помощью способа перемены плоскостей проекций или вращения. Если применяют способ перемены плоскостей проекций, то дополнительную плоскость задают параллельно секущей плоскости. Дополнительную плоскость совмещают с основной плоскостью проекций так, чтобы новая проекция сечения не наложилась на имеющиеся проекции. При использовании способа вращения ось вращения целесообразно распола­гать в секущей плоскости и на неко­тором расстоянии от тела.

Для примера показано положение оси вра­щения U (рис. 107) при определении истинной величины сечения четырехугольной призмы фронтально проецирующей плоскостью Р.

Рис. 107

Построение развертки усеченного тела начинают с вычерчивания раз­вертки его полной боковой поверхно­сти. Далее на нее наносят линии се­чения и пристраивают к ней остальные части развертки — основания и фигуру сечения. Если какие-либо элементы, необходимые для построения разверт­ки, на проекциях искажены, то пред­варительно определяют их истинную величину.

Рис. 108

Например, для построения развертки пра­вильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 108) необходимо определить истинную ве­личину фигуры сечения — треугольника ADE и длину одного из ее боковых ребер, например ребра SB. Для определения истинной величины этих элементов их поворачивают до положения, параллельного плоскости V. Треугольник ADE повер­нут вокруг оси U, а ребро SB — вокруг высо­ты пирамиды. Далее строят развертку согласно рекомендациям в следующем порядке: задают положение вершины S; вычерчивают развертку полной боковой поверхности пирамиды; наносят на нее линии сечения DE и AE с помощью от­резков SE = = s′e′1 = L2и DC = dc; пристраивают к ребру основания АВ фигуру усеченного основания— четырехугольник ABCD = abcd и к его стороне AD — треугольник ADE = a′1e′1 d′1.

Усеченные тела на аксонометриче­ской проекции вначале вычерчивают целыми. Далее изображают проекцию сечения и контурными линиями обво­дят усеченную часть тела.

Рис. 109

Для примера на рис. 109 вычерчена изо­метрическая проекция конуса, усеченного фронтально проецирующей плоскостью Р по параболе. Параболу на изометрической проекции начинают строить с ее вершины А. Эту точку получают с помощью координаты—хА. Проекции нижних точек параболы В и С строят по координате хВ,С. Соединив точку А с серединой отрезка ВС, получают проек­цию оси симметрии параболы. Для построе­ния ее промежуточных точек откладывают по оси конуса от его основания отрезки, равные координатам z1,2, z3,1, z5,6. Через концы от­ложенных отрезков проводят прямые, па­раллельные оси координат X, до пересечения с осью симметрии параболы. Через получен­ные точки проводят хорды параболы, которые параллельны ее нижней хорде ВС. Длину каждой хорды замеряют на горизонтальной проекции усеченного конуса и откладывают на соответствующей хорде изометрической проекции.

Задание 23. Усеченные геомет­рические тела. Построить заданные усеченные геометрические тела (приз­му, пирамиду, цилиндр, конус) в си­стеме трех плоскостей проекций, опре­делить истинные величины фигур се­чения, вычертить развертки усеченных тел и их аксонометрические проекции. Вид аксонометрической проекции ука­зан в табл. 13.

Таблица 13

Изображение каждого геометриче­ского тела располагают на листе фор­мата A3.

Образцы выполненного задания с разными вариантами оформления приведены на рис. 110—113.

Рис.110

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

Работу над заданием следует на­чинать с компоновки чертежа, которая довольно трудоемка из-за большого количества изображений. Габариты горизонтальной, фронтальной, про­фильной и аксонометрической проек­ций тела подсчитывают по заданным проекциям. Размеры сечения и раз­вертки определяют приблизительно или делают на черновике нужные по­строения.

Сократить работу с предлагаемым за­данием можно, уменьшив число геометрических тел или упростив содержание задания. Например, отказаться от вычерчивания аксо­нометрической проекции тела или не строить его развертку.

СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ

В заданиях на построение усечен­ных геометрических тел можно выде­лить следующие задачи: 1) построе­ние усеченного тела в системе трех плоскостей проекций; 2) определение истинной величины фигуры сечения; 3) построение развертки усеченного тела и 4) вычерчивание его аксоно­метрической проекции. Ниже помеще­ны рекомендации по решению каждой из перечисленных задач.

Вначале по положению секущей плоскости определяют вид фигуры се­чения и в зависимости от формы гео­метрического тела выбирают прием построения проекций сечения. В зада­ниях секущие плоскости занимают проецирующее положение, поэтому одна проекция сечения задается. Не­достающие проекции фигуры сечения призмы или пирамиды строят по точ­кам пересечения их ребер с заданной плоскостью. Если же плоскость пере­секает поверхность вращения по ле­кальной кривой, то начинают с определения ее характерных точек.

Например, фронтально проецирующая плоскость Р (рис. 106) пересекает цилиндр по не­полному эллипсу. Его характерными точками являются: 1) А и В — точки, принадлежащие линии пересечения плоскости Р с основанием цилиндра; 2) С — конец большой оси эллипса; 3) D и Е — концы малой оси эллипса и они же точки, лежащие на очерковых образующих ци­линдра Последовательность нахождения точек эллипса указана стрелками на примере проме­жуточных точек 1 и 2.

Рис. 106

Истинную величину фигуры сече­ния определяют с помощью способа перемены плоскостей проекций или вращения. Если применяют способ перемены плоскостей проекций, то дополнительную плоскость задают параллельно секущей плоскости. Дополнительную плоскость совмещают с основной плоскостью проекций так, чтобы новая проекция сечения не наложилась на имеющиеся проекции. При использовании способа вращения ось вращения целесообразно распола­гать в секущей плоскости и на неко­тором расстоянии от тела.

Для примера показано положение оси вра­щения U (рис. 107) при определении истинной величины сечения четырехугольной призмы фронтально проецирующей плоскостью Р.

Рис. 107

Построение развертки усеченного тела начинают с вычерчивания раз­вертки его полной боковой поверхно­сти. Далее на нее наносят линии се­чения и пристраивают к ней остальные части развертки — основания и фигуру сечения. Если какие-либо элементы, необходимые для построения разверт­ки, на проекциях искажены, то пред­варительно определяют их истинную величину.

Рис. 108

Например, для построения развертки пра­вильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 108) необходимо определить истинную ве­личину фигуры сечения — треугольника ADE и длину одного из ее боковых ребер, например ребра SB. Для определения истинной величины этих элементов их поворачивают до положения, параллельного плоскости V. Треугольник ADE повер­нут вокруг оси U, а ребро SB — вокруг высо­ты пирамиды. Далее строят развертку согласно рекомендациям в следующем порядке: задают положение вершины S; вычерчивают развертку полной боковой поверхности пирамиды; наносят на нее линии сечения DE и AE с помощью от­резков SE = = s′e′1 = L2и DC = dc; пристраивают к ребру основания АВ фигуру усеченного основания— четырехугольник ABCD = abcd и к его стороне AD — треугольник ADE = a′1e′1 d′1.

Усеченные тела на аксонометриче­ской проекции вначале вычерчивают целыми. Далее изображают проекцию сечения и контурными линиями обво­дят усеченную часть тела.

Рис. 109

Для примера на рис. 109 вычерчена изо­метрическая проекция конуса, усеченного фронтально проецирующей плоскостью Р по параболе. Параболу на изометрической проекции начинают строить с ее вершины А. Эту точку получают с помощью координаты—хА. Проекции нижних точек параболы В и С строят по координате хВ,С. Соединив точку А с серединой отрезка ВС, получают проек­цию оси симметрии параболы. Для построе­ния ее промежуточных точек откладывают по оси конуса от его основания отрезки, равные координатам z1,2, z3,1, z5,6. Через концы от­ложенных отрезков проводят прямые, па­раллельные оси координат X, до пересечения с осью симметрии параболы. Через получен­ные точки проводят хорды параболы, которые параллельны ее нижней хорде ВС. Длину каждой хорды замеряют на горизонтальной проекции усеченного конуса и откладывают на соответствующей хорде изометрической проекции.

Задание 23. Усеченные геомет­рические тела. Построить заданные усеченные геометрические тела (приз­му, пирамиду, цилиндр, конус) в си­стеме трех плоскостей проекций, опре­делить истинные величины фигур се­чения, вычертить развертки усеченных тел и их аксонометрические проекции. Вид аксонометрической проекции ука­зан в табл. 13.

Таблица 13

Изображение каждого геометриче­ского тела располагают на листе фор­мата A3.

Образцы выполненного задания с разными вариантами оформления приведены на рис. 110—113.

Рис.110

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

Работу над заданием следует на­чинать с компоновки чертежа, которая довольно трудоемка из-за большого количества изображений. Габариты горизонтальной, фронтальной, про­фильной и аксонометрической проек­ций тела подсчитывают по заданным проекциям. Размеры сечения и раз­вертки определяют приблизительно или делают на черновике нужные по­строения.

Сократить работу с предлагаемым за­данием можно, уменьшив число геометрических тел или упростив содержание задания. Например, отказаться от вычерчивания аксо­нометрической проекции тела или не строить его развертку.

Площадь

Под площадью подразумевают количество квадратов со стороной единица, помещающихся на определенной поверхности.
Площадь прямого конуса определяется по формуле:

• основания – Sосн = πr2; r – радиус;
• боковой поверхности – Sбп = πrl; l – длина;
• полная – S = Sосн + Sбп = πr2 + πrl = πr (r + l).

Пример:

• диаметр равен 12 см;
• длина образующей – 10 см.

Решение.

Радиус – это половина диаметра: 12/2 = 6 см.

Подставим значения в выражение: S = πr (r + l).

Получим: S = π * 6 *(6 + 10) = 96 π ≈ 301,584 см2.

Объем усечённого конуса

Объем – пространство, занимаемое геометрическим телом. Численное значение указывает на количество кубиков с гранью единица, помещающихся в конусе. Объем тела вычисляется как треть произведения площади основания на его высоту.

Основание – круг, его поверхность рассчитывается по формуле: Sосн = πr2. После подстановки получим:

.

Пример: вычислить объем тела: r = 6 см, h = 9 см. Ставим значения в формулу, пошагово упрощаем выражение.

Если известен диаметр, разделите его на два: .

Вычислим объем усеченного конуса. Для понимания, от полного объема исходного тела нужно отнять значение отрезанного параллельной нижней грани плоскостью.

Формула объема усеченного конуса:

Задача 5

Рис. 8. Вра­ща­е­мый тре­уголь­ник

Рис. 9. Тело, по­лу­чен­ное при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, бо­ко­вая сто­ро­на ко­то­ро­го равна , а угол при ос­но­ва­нии равен , вра­ща­ет­ся во­круг сво­е­го ос­но­ва­ния (см. рис. 8). Найти пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­чен­но­го при вра­ще­нии тела (см. рис. 9).

Ре­ше­ние

Рис. 10. Два рав­ных ко­ну­са

Если про­ве­сти в тре­уголь­ни­ке вы­со­ту из вер­ши­ны, то по­лу­ча­ет­ся два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, вра­щая ко­то­рые мы по­лу­ча­ем два рав­ных ко­ну­са, при­ле­га­ю­щих друг к другу ос­но­ва­ни­я­ми (см. рис. 10).

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти ис­ко­мо­го тела равна удво­ен­ной пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти лю­бо­го из ко­ну­сов. Таким об­ра­зом, нам надо найти ра­ди­ус ос­но­ва­ния и об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са (см. рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к по­след­не­му шагу

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен вы­со­те ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка, а об­ра­зу­ю­щая – бо­ко­вой сто­роне. Оче­вид­но, вы­со­та равна , а зна­чит, , таким об­ра­зом, окон­ча­тель­ный ответ: .

Ответ: .